据北京大学微信号消息，今年春晚，魔术师刘谦表演了一个与纸牌相关的魔术，精妙的设计带给观众极高的参与感，许多人纷纷拿出家中的扑克牌，跟着刘谦一起“见证奇迹”。“小尼的扑克牌没对上”也登上了热搜。
这个魔术“奇迹”的背后
有着怎样的奥秘？
当春晚还在进行中，北京大学数学科学学院2021级本科生刘明昊、李新宇、殷子萦，2022级本科生王秭如、黄天铭、王美潭，2023级本科生潘浩翔、王伟圣便写出一篇科普文章，从数学的角度带大家感受这一魔术的魅力。
魔 术 步 骤
首先，准备4张扑克牌，跟随魔术步骤，来一起“见证奇迹”。
魔 术 揭 秘
怎么样，你的扑克牌对上了吗？下面，几位北大同学将按照步骤顺序一步步为你揭秘背后的逻辑
步骤一
我们令选择的四张扑克牌分别为1234，将他们分别撕开后，产生了标号分别为1234的两套（半张）扑克牌，叠在一起后形成了从上至下标号分别为12341234的扑克牌堆。
步骤四
在上一步之后，牌堆的编号为000000X，于是，无论本轮中选择牌堆顶多少张牌插入牌堆中，都不会影响目标牌的位置，仍然处于牌堆底部。
步骤五
此时男生的牌堆为：00000X
女生的牌堆为：0000X
步骤六
通过尝试可知，在经过步骤六后将得到如下的牌堆：
男生：0000X0
女生：00X00
步骤七
通过上述揭秘
相信大家不难看出
这个魔术的背后
其实是一个数学上的问题
它被称为约瑟夫问题
约瑟夫问题
设有编号为1，2，......，n的n个人围成一个圈，从第1个人开始报数，报到m时停止报数，报m的人出圈。再从他的下一个人起重新报数，报到m时停止报数，报m的出圈......按照这个规则进行下来，直到所有人全部出圈为止。求最后留下来的人编号。
为了使问题简化，我们考虑n个人编号为0 ~ n-1的情况，每 m 个人退出一个人，我们称之为（n, m）问题。
第一个人（即编号为在模n下同余m的人）退出之后，对剩下的 n-1 个人重新编号，则新问题的k号在原问题中对应 k+m 号。因此（n, m）问题的解 J (n, m) = J (n-1, m)+m 且 J (1, m) = 1（模n意义下）。据此，通过递推的方法可以得到 J (n, m)。
在实践中，约瑟夫问题一般用代码进行求解。刘谦的魔术中使用的便是 m=2 的特殊情况。
那么主持人小尼
为什么失败了呢？
一起来看看背后的原因
根据上面的证明过程，我们不难发现：在步骤3与步骤4中，如果操作正确，每位主持人手中最底部的一张牌没有变化，而这恰好是步骤7后留下的一张牌。
然而，在进行步骤4时，注意尼格买提的手上动作：
镜头捕捉到插入过程中，原本位于底部的牌面花纹被另一张牌覆盖，也就是说，尼格买提并未按要求将两张牌放入中间位置，从而导致他最终匹配的失败。
听完北大同学的讲解，你理解魔术背后的数学问题了吗？
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